Линейные уравнения, неравенства и их системы. Линейная функция

Слушайте материал про линейные уравнения и неравенства в аудиоформате. Основные тезисы изложены ниже.

1. Линейные уравнения и их системы
2. Линейные неравенства
3. Линейная функция

Линейные уравнения и их системы

Линейные уравнения - уравнения вида ax+b=0.

Решение линейных уравнений

Возможны три случая:

1. если a≠0, то x=-b/a;   
2. если a=0 и b=0, то x∈R;  
3. если a=0 и b≠0, то уравнение не имеет корней.

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными называется система вида:

(1)

Решение систем линейных уравнений

Решить данную систему – значит найти все пары (x;y) такие, что при подстановке в каждое уравнение системы оно обращается в верное равенство. Если одно из уравнений системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Основные методы решения систем линейных уравнений – метод подстановки и метод алгебраического сложения.

Графическая интерпретация решения системы. Решить систему (1) означает:

1. найти координаты точки пересечения прямых, заданных формулами a₁x+b₁y=c₁ и a₂x+b₂y=c₂ (если система имеет одно решение);
2. доказать, что эти прямые параллельны (если система не имеет решений);
3. доказать, что эти прямые совпадают (если система имеет бесконечное множество решений).

Линейные неравенства

Линейные неравенства с одной переменной

Неравенства вида f(x)>g(x), f(x)<g(x), f(x)⩾g(x), f(x)⩽g(x), где f(x) и g(x) – линейные функции, называются линейными неравенствами с одной переменной. Неравенства со знаками «<» или «>» называют строгими; а со знаками «⩾» и «⩽» – нестрогими.

Решение линейных неравенств

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Система линейных неравенств

Двойное неравенство - неравенство вида a<b<c. Оно равносильно системе неравенств:

Свойства неравенства:

1. В любом неравенстве можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменяя при этом знак слагаемого на противоположный.
2. Обе части неравенства можно домножать (делить)  на любое положительное число.
3. Если обе части неравенства домножают (делят) на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.

Решение систем линейных неравенств

Решением системы неравенств являются те значения переменной, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам этой системы. Для их нахождения необходимо найти множество решений каждого из неравенств и затем пересечь эти множества.

Линейная функция

Линейная функция – это функция, заданная формулой y=kx+b, где k и b – действительные числа. График линейной функции – прямая. Число k – угловой коэффициент прямой; k=tgα, где α – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох. При k>0 линейная функция возрастает на всей числовой прямой, при k<0 – убывает на R.

Прямые, заданные формулами y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ параллельны, если k₁=k₂, b₁≠b₂. Прямые пересекаются в одной точке, если k₁≠k₂.

Функция y=kx называется прямая пропорциональность. Её график всегда проходит через начало координат.

Функция y=b – постоянная, её графиком является прямая, параллельная оси Ох. В частности, y=0 – уравнение прямой, содержащей ось Ох.

График линейной функции при различных значениях k и b:

Любое уравнение вида ax+by=c, где хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю, в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости Oxy задаёт прямую. Случаи, когда b≠0, перечислены выше.

Если b=0, то уравнение x=c/a также задаёт прямую, параллельную оси Oy, которая не является графиком функции. В частности, x=0 – уравнение прямой, содержащей ось Oy.