Рациональные числа и вычисления. Иррациональные числа

Слушайте материал в аудиоформате. Текстовый вариант смотрите ниже.

• Натуральные числа. Целые числа
• Арифметические вычисления. Обыкновенные дроби, десятичные дроби. Иррациональные числа
• Пропорция. Проценты

Натуральные числа. Целые числа

Множество натуральных чисел N={1,2,3,…}. Множество целых чисел Z={…,-2,-1,0,1,2,…}.

Если натуральное число А делится нацело (без остатка) на В, то говорят, что А кратно В, а число В является делителем числа А. Натуральное число называется чётным, если оно делится на 2. В противном случае – число нечётное.

Натуральное число n, не равное 1, называется простым, если оно имеет только два делителя: 1 и само число n. Примеры простых чисел: 5, 7, 11, 23. Натуральное число n называется составным, если оно имеет более двух делителей. Примеры: 6, 8, 15. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Простое может разделиться
Лишь на себя и единицу,
А в составных такой подвох:
Делителей не меньше трёх.

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.

Запись числа в стандартном виде: a*10ⁿ, где 1≤a<10 и n - натуральное число.

Общим делителем чисел m и n называется число, на которое делятся оба числа m и n. Наибольший общий делитель чисел m и n обозначается НОД(m, n). Для отыскания НОД(m, n) необходимо разложить каждое из чисел m и n на простые множители и вычислить произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим (из имеющихся) показателем степени. Общим кратным чисел m и n называется число, которое делится на каждое из чисел m и n. Наименьшее общее кратное чисел m и n обозначается НОК(m, n). Для отыскания НОК(m, n) необходимо разложить каждое из чисел m и n на простые множители и вычислить произведение общих простых множителей, взятых с наибольшим (из имеющихся) показателем.

Важное свойство: НОД(m, n)* НОК(m, n)=m*n.

Арифметические вычисления. Обыкновенные дроби, десятичные дроби. Иррациональные числа

Дробь вида m/n, где m и n – натуральные числа, – обыкновенная дробь, m – её числитель, а n – знаменатель. Дробь правильная, если m<n, и неправильная при m≥n.

Дробь вида m/10ⁿ, где m и n – натуральные числа, называется десятичной. Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной, например 0,236=236/1000.

Взаимно обратные перемножаем
И единицу изображаем.

Числа, представляемые обыкновенной дробью, где числитель целое число, а знаменатель натуральное, называются рациональными. Например: 2/3. 

Если при вычислении значения выражения в нём присутствуют и обыкновенные и десятичные дроби, то их следует представить в одинаковом виде.

Десятичная дробь, у которой начиная с некоторого знака после запятой повторяется цифра или группа цифр, называется бесконечной периодической. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом дроби и записывают в скобках, например 0,151515=0,(15). Любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной.

А) Если период такой дроби начинается сразу после запятой, то для представления её в виде обыкновенной необходимо в числителе записать период дроби, а в знаменателе число, записанное таким количеством девяток, сколько цифр в периоде.

Например:  0,(3)=3/9; 1,(26)=1(26/99).

Б) Если между запятой и периодом дроби есть ещё цифры, то числитель дроби равен разности между самим числом, включая один период, и числом, стоящим до периода, а знаменатель – число, записанное таким количеством девяток, сколько цифр в периоде, и таким количеством нулей, сколько цифр после запятой до периода.

Например: 0,2(13)=(213-2)/990=211/990; 4,35(7)=4((357-35)/900)=4(322/900).

Бесконечная десятичная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Примерами таких чисел являются: √3; √5; π и др.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается R.

Пропорция. Проценты

Пропорцией называется верное равенство вида: a/b=c/d.

Основное свойство пропорции: a*d=b*c.

Процентом (1%) числа называется его сотая часть. Таким образом, само число составляет 100%. Для решения задачи на проценты необходимо перевести процент в дробь: p₁=p%/100.